ZAP // Ruben Yevgeny Hymov
O poliedro toroidal 3D “impossível”
O matemático Richard Evan Schwartz conseguiu encontrar uma solução para uma questão que se arrastava há muito tempo: qual é o número mínimo de vértices necessários para fazer toros poliédricos com uma propriedade chamada planura intrínseca.
Imagine que quer saber qual é a forma mais eficiente de fazer um toro — um objeto matemático Tenho a forma de um donut — de papel de origami. Mas este toro, que é uma superfície, tem uma aparência drasticamente diferente do exterior de um donut de pastelaria esmaltada.
Em vez de parecer quase perfeitamente liso, o toro que você imagina é irregularcom muitas faces, cada uma das quais é um polígono. Por outras palavras, pretende construir um toro poliédrico com faces que são formas como triângulos ou retângulos.
A sua figura de aspeto peculiar será mais complicada de construir do que uma com superfície lisa. A complexidade do problema só aumenta se você decidir que quer imaginar a construção de algo semelhante, mas em 4 ou mais dimensões.
O matemático Richard Evan Schwartzda Universidade Brown, abordou o problema num estudo recente, trabalhando de trás para a frente a partir de um toro poliédrico existente, para responder a questões sobre o que seria necessário para o construir de raiz.
No seu estudopré-publicado no ano passado no arXivSchwartz conseguiu encontrar uma solução para uma questão que se arrastava há muito tempo: qual é o número mínimo de vértices (arestas) necessários para fazer toros poliédricos com uma propriedade chamada planicidade intrínseca?
A resposta, descobriu Schwartz, é oito vértices. Primeiro demonstrou que sete vértices não são suficientes. Depois descobriu um exemplo de um toro poliédrico intrinsecamente plano com 8 vértices.
“É muito notável que Rich Schwartz tenha conseguido resolver completamente este problema bem conhecido”, afirma Jean-Marc Schlenkermatemático da Universidade do Luxemburgo, à Científico Americano. “O problema parece elementar, mas esteve em aberto durante muitos anos.”
A descoberta de Schwartz fornece essencialmente o número mínimo de vértices de que um toro poliédrico necessita para poder ser achatado. Mas um detalhe — o que significa ser “intrinsecamente plano” em vez de simplesmente “plano” — é um pouco complicado de analisar. Esta noção é também central para relacionar os resultados de Schwartz com a questão da construção de toros poliédricos de raiz.
Desde a década de 1960 que os matemáticos sabem que existem versões intrinsecamente planas de objetos matemáticos. Mas encontrar efetivamente esses objetos é outra história, observa Schwartz. Descrever toros poliédricos como intrinsecamente planos não é exatamente equivalente a dizer simplesmente que são planos como uma folha de papel.
Em vez disso, significa que essas superfícies têm as mesmas dimensões que (ou, como dizem os matemáticos, “são isométricas a”) toros que são esmagados até ficarem planos. “Outra forma de o dizer é que, se calcularmos as somas dos ângulos em torno de cada vértice, estas somam 2π em todo o lado“, explica Schwartz.
Segundo Schlenker, a descoberta de Schwartz está muito em linha com a sua especialização. No entanto, durante muitos anos, Schwartz ficou tão perplexo com o problema que o deixou de lado.
O matemático, que tem até uma página onde fãs discutem o seu trabalho, ouviu falar do enigma pela primeira vez em 2019, quando dois dos seus amigos matemáticos, Alba Málaga Sabogal e Samuel Lelièvrelho apresentaram.
“Acharam que eu estaria interessado nisto porque tinha resolvido uma coisa chamada problema de Thompson, que era sobre eletrões numa esfera“, diz Schwartz. “Eles pensaram que o problema tinha a ver com procurar em um espaço de configuração e tentar ver qual configuração era a melhor entre um número infinito de possibilidades, e essas toras de origami têm um tipo de sabor semelhante“.
Mas Schwartz não ficou inicialmente convencido. “Basicamente, enfiaram-mo pela cara adentro e, a dada altura, passaram anos. Na verdade, achei que era um problema muito difícil“, diz.
A dificuldade provinha das grandes dimensões que pareciam estar envolvidas. “Mesmo para apenas sete ou oito vértices, parece que teríamos de olhar para um espaço de vinte e tantas dimensões“, afirma.
Mas quando os três matemáticos se reencontraram em 2025, Schwartz soube que o companheiro de casa de Lelièvre, Vicente Tugayétinha encontrado um exemplo que funcionava com nove vértices.
“Era uma coisa muito bonita” que Tugayé, professor do ensino médio com doutorado em física, exibiu em feiras de divulgação matemática em Paris, diz Schwartz. “Pensei: bem, este tem de ser o melhor“, acrescenta Schwartz, que então se propôs descobrir se a sua intuição estava correta.
Para saber se os casos com 7 ou 8 vértices funcionariamSchwartz concentrou-se em responder a “Como é que reduzo a dimensão?”, e gerou muitas ideias sobre como fazê-lo para o caso de 7 vértices.
No entanto, acabou por tropeçar numa espécie de presente matemático: um artigo pouco conhecido de 1991 que “percorre cerca de 80% do caminho para provar que não se pode fazer com sete vértices”, diz. “Depois simplesmente terminei o trabalho.”
Continuando a pensar que o caso de oito vértices também não funcionaria, ele então tentou usar um abordagem semelhantepara provar essa afirmação. Quando descobriu que não conseguia excluir alguns casosdecidiu descobrir quais propriedades um toro de oito vértices precisaria ter para ser intrinsecamente plano.
Com uma abordagem que descreve como “aprendizagem automática fortemente supervisionada”, Schwartz encontrou então um exemplo de oito vértices que funcionava.
“O que é mais notável, penso eu, é que é mais um exemplo das competências específicas que Rich Schwartz desenvolveu, combinando investigação matemática tradicional com métodos computacionais”, afirma Schlenker.
“Ele encontra belas ideias geométricas para provar alguns resultadosmas também escreve programas elaborados para procurar e encontrar exemplos. Muito poucos matemáticos são capazes de reunir estas duas vertentes de forma tão harmoniosa”, conclui Schlenker.