Uma reviravolta, se quisermos, excêntrica: maximizar o número de pedaços ao cortar uma panqueca infinita.
Dois matemáticos recuperaram um clássico quebra-cabeças de geometria combinatória com uma abordagem excêntrica: maximizar o número de “pedaços” obtidos ao cortar uma panqueca infinita.
É uma nova abordagem ao problema das panquecas infinitascomo descreve o Ciência realmente clara.
Neil JA Sloane, fundador da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS), e David OH Cutler, estudante de licenciatura na Tufts University, partiram para essa tarefa, não apenas com uma faca reta, mas com “facas” de formatos pouco usuaisalgumas com braços infinitamente longos.
O problema original, conhecido como O problema do fornecedor preguiçosopergunta quantas regiões se podem obter com um certo número de cortes retos num plano.
Nesta nova abordagem, o plano é uma panqueca que se estende sem fim em todas as direções e os “cortes” podem ser curvas e figuras compostas.
A estratégia de base mantém um princípio intuitivo: cada novo corte deve, idealmente, intersectar tantos cortes anteriores quanto possível, para aumentar o número de regiões.
UM dificuldade surge quando as facas deixam de ser linhas simples e passam a incluir “pernas”, “braços” e segmentos infinitos que precisam de ser posicionados com precisão para produzir o máximo de divisões.
Entre os instrumentos propostos está uma faca em forma de “chupa-chupa”, com um cabo infinito, e um conjunto de facas em forma de letras, salienta o O jornal New York Times.
A mais exigente, segundo os autores, foi a “constrangida”: um A maiúsculo com requisitos geométricos rígidos, incluindo uma barra horizontal fixa que, juntamente com o vértice superior, define um triângulo isósceles.
Com uma única “constrangida”, a panqueca divide-se em três regiões; com duas, numa configuração ótima, chega-se a 13 regiões. A partir daí, o número de peças cresce rapidamente: resultados computacionais sugerem 30 regiões com três facas, 53 com quatro e 83 com cinco — gerando a sequência 1, 3, 13, 30, 53, 83… (contando também o caso de zero cortes, em que a panqueca permanece inteira).
Para explorar configurações possíveis, Cutler desenvolveu, com a ajuda de colegas, um programa que começa com arranjos aleatórios das “facas” e vai ajustando pequenas variações (“jiggling and wiggling”) para procurar máximos.
Um ingrediente matemático central é a relação de Euler para poliedros, aqui usada como fórmula de contagem em configurações planas: o número de regiões pode ser derivado a partir do número de vértices e arestas criados pelas interseções dos cortes.
O estudo percorre ainda outras facas: “hatpins” (semi-infinitas), um V e um “V de três braços” apelidado de “Wu” (referência a um carácter do Unicode), além de uma forma batizada “nunchucks”.
A matemática experimental, como sublinha Zeilberger, não precisa de um laboratório tradicional: o computador funciona como bancada de ensaio.
Um dos resultados mais curiosos surge com um “A” alongado e menos restrito (com barra inclinável): três destes A’s produzem 34 regiões — o mesmo total obtido com três “Wu” e três “nunchucks”.
Essa “tripla coincidência” corresponde à mesma sequência registada na OEIS (1, 3, 14, 34, 63, 101…) e acabou por motivar um teorema no próprio trabalho.
Depois do A, os autores estendem a exploração a outras letras alongadas, como E, H, L, M, T, W e X, sugerindo que a geometria de utensílios improváveis pode continuar a gerar novas ligações entre desenhos, algoritmos e sequências inteiras.