Investigador do Cluster of Excellence Mathematics encontra uma abordagem que pode ser usada de forma flexível
Quer se trate de fenómenos físicos, preços de ações ou modelos climáticos – muitos processos dinâmicos no nosso mundo podem ser descritos matematicamente com a ajuda de equações diferenciais parciais. Graças à estocástica – uma área da matemática que lida com probabilidades – isto é ainda possível quando a aleatoriedade desempenha um papel nestes processos. Algo em que os pesquisadores vêm trabalhando há algumas décadas são as chamadas equações diferenciais parciais estocásticas. Trabalhando em conjunto com outros pesquisadores, o Dr. Markus Tempelmayr, do Cluster of Excellence Mathematics Münster da Universidade de Münster, encontrou um método que ajuda a resolver uma certa classe de tais equações. Os resultados foram publicados na revista Descobertas matemáticas.
A base do seu trabalho é uma teoria do Prof. Martin Hairer, ganhador da Medalha Fields, desenvolvida em 2014 com colegas internacionais. É visto como um grande avanço no campo de pesquisa de equações diferenciais parciais estocásticas singulares. “Até então”, explica Markus Tempelmayr, “era um mistério como resolver essas equações. A nova teoria forneceu uma ‘caixa de ferramentas’ completa, por assim dizer, sobre como tais equações podem ser resolvidas.”
O problema, continua Tempelmayr, é que a teoria é relativamente complexa, o que torna por vezes difícil aplicar a “caixa de ferramentas” e adaptá-la a outras situações. “Assim, no nosso trabalho, analisámos aspectos da ‘caixa de ferramentas’ de uma perspectiva diferente e encontrámos e comprovámos um método que pode ser utilizado de forma mais fácil e flexível.” O estudo, no qual Markus Tempelmayr esteve envolvido como doutorando do Prof. Felix Otto no Instituto Max Planck de Matemática nas Ciências, foi publicado em 2021 como pré-impressão. Desde então, vários grupos de investigação aplicaram com sucesso esta abordagem alternativa nos seus trabalhos de investigação.
Equações diferenciais parciais estocásticas podem ser usadas para modelar uma ampla gama de processos dinâmicos, por exemplo, o crescimento superficial de bactérias, a evolução de filmes líquidos finos ou modelos de partículas em interação no magnetismo. Contudo, estas áreas concretas de aplicação não desempenham qualquer papel na investigação básica em matemática, pois, independentemente delas, é sempre a mesma classe de equações que está envolvida. Os matemáticos estão concentrados em resolver as equações, apesar dos termos estocásticos e dos desafios resultantes, como a sobreposição de frequências que levam a ressonâncias.
Várias técnicas são utilizadas para esse fim. Na teoria de Hairer, são usados métodos que resultam em diagramas de árvore ilustrativos. “Aqui são aplicadas ferramentas das áreas de análise estocástica, álgebra e combinatória”, explica Markus Tempelmayr. Ele e seus colegas selecionaram, antes, uma abordagem analítica. O que lhes interessa em particular é a questão de como a solução da equação muda se o processo estocástico subjacente for ligeiramente alterado.
A abordagem que adotaram não foi abordar diretamente a solução de equações diferenciais parciais estocásticas complicadas, mas, em vez disso, resolver muitas equações mais simples diferentes e provar certas afirmações sobre elas. “As soluções das equações simples podem então ser combinadas – simplesmente somadas, por assim dizer – para chegar a uma solução para a equação complicada na qual estamos realmente interessados.” Esse conhecimento é utilizado por outros grupos de pesquisa que trabalham com outros métodos.
Publicação original
P. Linares, F. Otto, M. Tempelmayr, P. Tsatsoulis (2024): Uma abordagem livre de diagramas para estimativas estocásticas em estruturas de regularidade. Descobertas matemáticas. 2024, DOI: https://doi.org/10.1007/s00222’024 -01275-z