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Ondas gravitacionais e a geometria do espaço-tempo

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Jun 4, 2024
Sjors Heefer.

Sjors Heefer explorou soluções únicas para uma extensão da relatividade geral como parte de sua pesquisa de doutorado cum laude. Defendeu sua tese no Departamento de Matemática e Ciência da Computação no dia 24 de maio.

Quando se fala do nosso universo, costuma-se dizer que “a matéria diz ao espaço-tempo como se curvar, e o espaço-tempo curvo diz à matéria como se mover”. Esta é a essência da famosa teoria da relatividade geral de Albert Einstein e descreve como os planetas, estrelas e galáxias se movem e influenciam o espaço ao seu redor. Embora a relatividade geral capte grande parte do que há de grande em nosso universo, ela está em desacordo com o que há de pequeno na física, conforme descrito pela mecânica quântica. Para a sua investigação de doutoramento, Sjors Heefer explorou a gravidade no nosso universo, tendo a sua investigação implicações para o excitante campo das ondas gravitacionais, e talvez influenciando a forma como o grande e o pequeno da física podem ser reconciliados no futuro.

Há pouco mais de cem anos, Albert Einstein revolucionou a nossa compreensão da gravidade com a sua teoria geral da relatividade. “De acordo com a teoria de Einstein, a gravidade não é uma força, mas surge devido à geometria do continuum espaço-tempo quadridimensional, ou espaço-tempo, para abreviar”, diz Heefer. “E é fundamental para o surgimento de fenômenos fascinantes em nosso universo, como as ondas gravitacionais.”

Objetos massivos, como o Sol ou galáxias, distorcem o espaço-tempo ao seu redor, e outros objetos então se movem ao longo dos caminhos mais retos possíveis – também conhecidos como geodésicas – através deste espaço-tempo curvo.

Devido à curvatura, entretanto, essas geodésicas não são retas no sentido usual. No caso dos planetas do sistema solar, por exemplo, eles descrevem órbitas elípticas ao redor do sol. Desta forma, a relatividade geral explica com elegância o movimento dos planetas, bem como numerosos outros fenómenos gravitacionais, que vão desde situações quotidianas até buracos negros e o big bang. Como tal, continua a ser uma pedra angular da física moderna.

Choque de teorias

Embora a relatividade geral descreva uma série de fenômenos astrofísicos, ela entra em conflito com outra teoria fundamental da física – a mecânica quântica.

“A mecânica quântica sugere que partículas (como elétrons ou múons) existem em vários estados ao mesmo tempo até serem medidas ou observadas”, diz Heefer. “Uma vez medidos, eles selecionam aleatoriamente um estado devido a um efeito misterioso conhecido como ‘colapso da função de onda’.”

Na mecânica quântica, uma função de onda é uma expressão matemática que descreve a posição e o estado de uma partícula, como um elétron. E o quadrado da função de onda leva a um conjunto de probabilidades de onde a partícula pode estar localizada. Quanto maior o quadrado da função de onda em um determinado local, maior será a probabilidade de uma partícula estar localizada naquele local quando for observada.

“Toda a matéria do nosso universo parece estar sujeita às estranhas leis probabilísticas da mecânica quântica”, observa Heefer. “E o mesmo se aplica a todas as forças da natureza – exceto a gravidade. Esta discrepância leva a profundos paradoxos filosóficos e matemáticos, e resolvê-los é um dos principais desafios da física fundamental hoje.”

A expansão é a solução?

Uma abordagem para resolver o conflito entre a relatividade geral e a mecânica quântica é expandir a estrutura matemática por trás da relatividade geral.

Em termos de matemática, a relatividade geral baseia-se na geometria pseudo-Riemanniana, que é uma linguagem matemática capaz de descrever a maioria das formas típicas que o espaço-tempo pode assumir.

“Descobertas recentes indicam, no entanto, que o espaço-tempo do nosso universo pode estar fora do âmbito da geometria pseudo-Riemanniana e só pode ser descrito pela geometria Finsler, uma linguagem matemática mais avançada”, diz Heefer.

É hora de Finsler brilhar

Na geometria de Finsler – que leva o nome do matemático alemão e suíço Paul Finsler, a distância entre dois pontos – A e B – não depende apenas da localização dos dois pontos. Também depende se a pessoa está viajando de A para B ou vice-versa.

“Imagine caminhar em direção a um ponto no topo de uma colina. Subir a encosta íngreme em direção a esse ponto custa muita energia para cobrir a distância e pode levar muito tempo. O caminho de volta para baixo, por outro Por outro lado, será muito mais fácil e levará muito menos tempo. Na geometria de Finsler, isso pode ser explicado atribuindo-se uma distância maior ao caminho para cima do que para o caminho para baixo.

Reescrever a relatividade geral usando a matemática da geometria de Finsler leva à gravidade de Finsler, uma teoria da gravidade mais poderosa, que captura tudo no universo explicado pela relatividade geral, e potencialmente muito mais do que isso.

Equações de campo

Para explorar as possibilidades da gravidade de Finsler, Heefer precisava analisar e resolver uma determinada equação de campo.

Os físicos gostam de descrever tudo na natureza em termos de campos. Na física, um campo é simplesmente algo que possui um valor em cada ponto do espaço e do tempo.

Um exemplo simples seria a temperatura, por exemplo; em qualquer ponto no tempo, cada ponto no espaço tem uma certa temperatura associada a ele.

Um exemplo um pouco mais complexo é o do campo eletromagnético. Em qualquer momento, o valor do campo eletromagnético num determinado ponto do espaço nos diz a direção e a magnitude da força eletromagnética que uma partícula carregada, como um elétron, experimentaria se estivesse localizada naquele ponto.

E quando se trata da própria geometria do espaço-tempo, ela também é descrita por um campo, nomeadamente o campo gravitacional. O valor deste campo num ponto do espaço-tempo indica-nos a curvatura do espaço-tempo nesse ponto, e é esta curvatura que se manifesta como gravidade.

Heefer recorreu à equação do campo de vácuo de Christian Pfeifer e Mattias NR Wohlfarth, que é a equação que governa esse campo gravitacional no espaço vazio. Em outras palavras, esta equação descreve as possíveis formas que a geometria do espaço-tempo poderia assumir na ausência de matéria.

Heefer: “Com uma boa aproximação, isso inclui todo o espaço interestelar entre estrelas e galáxias, bem como o espaço vazio que circunda objetos como o Sol e a Terra. Ao analisar cuidadosamente a equação de campo, vários novos tipos de geometrias de espaço-tempo foram identificados .”

Confirmação de ondas gravitacionais

Uma descoberta particularmente interessante do trabalho de Heefer envolve uma classe de geometrias do espaço-tempo que representam ondas gravitacionais – ondulações na estrutura do espaço-tempo que se propagam à velocidade da luz e podem ser causadas pela colisão de estrelas de nêutrons ou buracos negros, por exemplo.

A primeira detecção direta de ondas gravitacionais em 14 de setembro de 2015 marcou o início de uma nova era na astronomia, permitindo aos cientistas explorar o universo de uma forma totalmente nova.

Desde então, muitas observações de ondas gravitacionais foram feitas. A pesquisa de Heefer indica que tudo isto é consistente com a hipótese de que o nosso espaço-tempo tem uma natureza Finsleriana.

Arranhar a superfície

Embora os resultados de Heefer sejam promissores, eles apenas arranham a superfície das implicações da equação de campo da gravidade de Finsler.

“O campo ainda é jovem e mais pesquisas nesta direção estão em andamento”, diz Heefer. “Estou optimista de que os nossos resultados serão fundamentais para aprofundar a nossa compreensão da gravidade e espero que, eventualmente, possam até lançar luz sobre a reconciliação da gravidade com a mecânica quântica.”

Título da tese de doutorado: Geometria, espaço-tempo e gravidade de Finsler: da metrizabilidade dos espaços de Berwald às soluções exatas de vácuo na gravidade de Finsler . Supervisores: Luc Florack e Andrea Fuster.

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